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Terminale

Orthogonalité et produit scalaire

ORTHOGONALITÉ ET PRODUIT SCALAIRE (dans l'espace)

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Géométrie dans l'espace

Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre étend au volume le produit scalaire vu dans le plan en première. Le produit scalaire est l'outil-clé qui relie norme (longueur), angle entre deux vecteurs, et orthogonalité — trois notions qui structurent toute la géométrie euclidienne.

Prérequis indispensables :

  • Produit scalaire dans le plan (première)
  • Vecteurs, coordonnées dans un repère orthonormé (chapitre Vecteurs, droites et plans)
  • Notion de vecteur normal (chapitre Représentations paramétriques)

Chapitre débouchant sur : Distances, projetés, aires et volumes (application directe : projeté orthogonal, distance à un plan).

1. Notions clés

1.1 Définition du produit scalaire

Soit u⃗{\color{#EE0000}{\vec{u}}} et v⃗{\color{#0070C0}{\vec{v}}} deux vecteurs de l'espace. Le produit scalaire de u⃗{\color{#EE0000}{\vec{u}}} et v⃗{\color{#0070C0}{\vec{v}}}, noté u⃗⋅v⃗{\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}}, est un nombre réel défini par : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗){\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}} = \|{\color{#EE0000}{\vec{u}}}\| \times \|{\color{#0070C0}{\vec{v}}}\| \times \cos({\color{#EE0000}{\vec{u}}}, {\color{#0070C0}{\vec{v}}})

où (u⃗,v⃗)({\color{#EE0000}{\vec{u}}}, {\color{#0070C0}{\vec{v}}}) désigne l'angle géométrique entre les deux vecteurs.

Point-clé : le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.

1.2 Expression analytique (avec coordonnées)

Dans un repère orthonormé, avec u⃗(xu ;yu ;zu){\color{#EE0000}{\vec{u}}}(x_u\,;y_u\,;z_u) et v⃗(xv ;yv ;zv){\color{#0070C0}{\vec{v}}}(x_v\,;y_v\,;z_v) :

u⃗⋅v⃗=xu×xv+yu×yv+zu×zv{\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}} = x_{{\color{#EE0000}{u}}} \times x_{{\color{#0070C0}{v}}} + y_{{\color{#EE0000}{u}}} \times y_{{\color{#0070C0}{v}}} + z_{{\color{#EE0000}{u}}} \times z_{{\color{#0070C0}{v}}}

📌 C'est la formule à utiliser au bac — la plus rapide et la moins susceptible d'erreur.

1.3 Orthogonalité

Deux vecteurs u⃗{\color{#EE0000}{\vec{u}}} et v⃗{\color{#0070C0}{\vec{v}}} (non nuls) sont orthogonaux si et seulement si : u⃗⋅v⃗=0{\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}} = 0

Convention : le vecteur nul 0⃗\vec{0} est orthogonal à tout vecteur (par convention).

Notation : u⃗⊥v⃗{\color{#EE0000}{\vec{u}}} \perp {\color{#0070C0}{\vec{v}}}.

1.4 Vecteur normal à un plan

Un vecteur n⃗\vec{n} est normal à un plan (P)(P) s'il est orthogonal à tout vecteur du plan — ou, de façon équivalente, s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de (P)(P).

Théorème pratique : si u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} sont deux vecteurs directeurs (non colinéaires) de (P)(P), alors : n⃗ est normal aˋ (P)  ⇔  n⃗⋅u⃗=0 et n⃗⋅v⃗=0\vec{n} \text{ est normal à } (P) \; \Leftrightarrow \; \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \text{ et } \vec{n} \cdot \vec{v} = 0

1.5 Base orthonormée

Une base orthonormée est une base (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) dans laquelle les trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux et tous de norme 1.

La formule analytique u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v n'est valide que dans une base orthonormée.

2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Définition (produit scalaire)

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ cos⁡(u⃗,v⃗){\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}} = \|{\color{#EE0000}{\vec{u}}}\|\,\|{\color{#0070C0}{\vec{v}}}\|\,\cos({\color{#EE0000}{\vec{u}}}, {\color{#0070C0}{\vec{v}}})

T2 — Expression analytique (base orthonormée)

u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv{\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}} = x_{{\color{#EE0000}{u}}} x_{{\color{#0070C0}{v}}} + y_{{\color{#EE0000}{u}}} y_{{\color{#0070C0}{v}}} + z_{{\color{#EE0000}{u}}} z_{{\color{#0070C0}{v}}}

T3 — Propriétés du produit scalaire

Symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}

Bilinéarité : pour tous vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} et tout réel λ\lambda :

(λ u⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗)=u⃗⋅(λ v⃗)(\lambda\,\vec{u}) \cdot \vec{v} = \lambda\,(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (\lambda\,\vec{v})

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}

(u⃗+v⃗)⋅w⃗=u⃗⋅w⃗+v⃗⋅w⃗(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}

T4 — Norme et carré scalaire

u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2=xu2+yu2+zu2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 = x_u^2 + y_u^2 + z_u^2

Conséquence : ∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗=xu2+yu2+zu2\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}

T5 — Orthogonalité (caractérisation par le produit scalaire)

u⃗⊥v⃗  ⇔  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \; \Leftrightarrow \; \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

T6 — Angle entre deux vecteurs

Pour u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} non nuls : cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}

L'angle (u⃗,v⃗)∈[0 ;π](\vec{u}, \vec{v}) \in [0\,;\pi] s'obtient par arccos⁡\arccos appliqué à ce quotient.

T7 — Identités remarquables vectorielles

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2

∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2

Formule d'Al-Kashi (dans un triangle ABCABC) : BC2=AB2+AC2−2×AB×AC×cos⁡(A^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{A})

Cas particulier A^=90°\widehat{A} = 90° (théorème de Pythagore) : BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2.

T8 — Vecteur normal à un plan et caractérisation

Un vecteur n⃗\vec{n} est normal au plan (P)(P) passant par AA avec vecteurs directeurs u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} (non colinéaires) si et seulement si : n⃗⋅u⃗=0etn⃗⋅v⃗=0\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \quad \text{et} \quad \vec{n} \cdot \vec{v} = 0

Corollaire — équation cartésienne : l'équation du plan est n⃗⋅AM→=0\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 qui se développe en a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 avec n⃗(a ;b ;c)\vec{n}(a\,;b\,;c).

3. Méthodes types au bac

M1 — Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées

Démarche. Appliquer directement u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v.

Exemple. u⃗(2 ;−1 ;3){\color{#EE0000}{\vec{u}}}(2\,;-1\,;3), v⃗(4 ;3 ;−2){\color{#0070C0}{\vec{v}}}(4\,;3\,;-2).

u⃗⋅v⃗=2×4+(−1)×3+3×(−2)=8−3−6=−1{\color{#EE0000}{\vec{u}}} \cdot {\color{#0070C0}{\vec{v}}} = {\color{#EE0000}{2}} \times {\color{#0070C0}{4}} + {\color{#EE0000}{(-1)}} \times {\color{#0070C0}{3}} + {\color{#EE0000}{3}} \times {\color{#0070C0}{(-2)}} = 8 - 3 - 6 = -1

Rédaction canonique. Rappeler la formule littérale avant le calcul.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2021 à 2024, toutes sessions.

M2 — Démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs

Démarche. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et vérifier qu'il est nul.

Exemple. u⃗(1 ;2 ;−1)\vec{u}(1\,;2\,;-1), v⃗(3 ;−1 ;1)\vec{v}(3\,;-1\,;1).

u⃗⋅v⃗=3−2−1=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 - 2 - 1 = 0. Donc u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}.

Où c'est tombé : dans tous les exercices de géométrie. Métropole 2021 à 2024, Polynésie 2023, 2024.

M3 — Calculer un angle entre deux vecteurs

Démarche.

  1. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} (M1).
  2. Calculer ∥u⃗∥\|\vec{u}\| et ∥v⃗∥\|\vec{v}\|.
  3. Appliquer cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.
  4. Utiliser arccos⁡\arccos à la calculatrice pour obtenir l'angle en degrés ou radians.

Exemple. u⃗(1 ;1 ;0)\vec{u}(1\,;1\,;0), v⃗(1 ;−1 ;0)\vec{v}(1\,;-1\,;0).

u⃗⋅v⃗=1−1+0=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 - 1 + 0 = 0 ; ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = \sqrt{2} ; ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = \sqrt{2}.

cos⁡(u⃗,v⃗)=0\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0, donc angle =π2= \dfrac{\pi}{2} (90°).

Où c'est tombé : Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

M4 — Démontrer qu'un vecteur est normal à un plan

Type d'énoncé : « Montrer que n⃗(3 ;−1 ;2)\vec{n}(3\,;-1\,;2) est normal au plan (P)(P) passant par A,B,CA, B, C. »

Démarche.

  1. Calculer AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  2. Vérifier n⃗⋅AB→=0\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 et n⃗⋅AC→=0\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0.
  3. Vérifier que AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont non colinéaires.

Rédaction canonique.

AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} étant non colinéaires (à justifier), et n⃗\vec{n} étant orthogonal à ces deux vecteurs, n⃗\vec{n} est un vecteur normal au plan (P)(P).

Où c'est tombé : structure canonique. Métropole 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2023.

M5 — Trouver l'équation cartésienne d'un plan (via vecteur normal)

Voir fiche Représentations paramétriques, méthode M3.

L'équation est a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 avec n⃗(a ;b ;c)\vec{n}(a\,;b\,;c) normal et AA un point du plan.

M6 — Position droite/plan par produit scalaire

Démarche. Une droite (D)(D) de vecteur directeur u⃗\vec{u} est parallèle au plan (P)(P) de vecteur normal n⃗\vec{n} si et seulement si : u⃗⋅n⃗=0\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

Si u⃗⋅n⃗≠0\vec{u} \cdot \vec{n} \ne 0 : la droite et le plan sont sécants.

Voir fiche Représentations paramétriques, méthode M7.

M7 — Projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan

Projeté orthogonal d'un point MM sur une droite (D)(D) de vecteur directeur u⃗\vec{u} passant par AA :

  1. Le projeté HH est sur (D)(D) : AH→=t u⃗\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u} pour un réel tt.
  2. MH→\overrightarrow{MH} est orthogonal à u⃗\vec{u} : MH→⋅u⃗=0\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0.
  3. Résoudre en tt, puis calculer HH.

Projeté orthogonal d'un point MM sur un plan (P)(P) de vecteur normal n⃗\vec{n} :

  1. La droite Δ\Delta passant par MM et de vecteur directeur n⃗\vec{n} est orthogonale à (P)(P).
  2. Le projeté HH est l'intersection de Δ\Delta et (P)(P) (voir fiche Représentations paramétriques, M6).

Où c'est tombé : structure canonique. Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024. Voir fiche Distances, projetés, aires et volumes.

4. Analyse fréquentielle

  • Le produit scalaire apparaît dans 100 % des exercices de géométrie au bac spécialité maths.
  • Format le plus fréquent : intégré comme outil dans un exercice de géométrie, souvent en question intermédiaire :
    1. Calcul de produit scalaire (M1)
    2. Démonstration d'orthogonalité (M2), souvent pour trouver un vecteur normal
    3. Application au calcul d'un angle (M3) ou d'une équation cartésienne
  • Vecteur normal (M4) : systématique — question canonique pour définir un plan par son équation cartésienne.
  • Angle entre deux vecteurs ou entre deux droites (M3) : régulier — Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.
  • Projeté orthogonal (M7) : structure canonique pour les distances (voir fiche suivante).
  • QCM : identification d'une orthogonalité via produit scalaire nul, ou calcul de norme.

5. Erreurs fréquentes

  1. Confondre produit scalaire (nombre) et produit de vecteurs (rien de tel en terminale) : le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur.
  2. Utiliser u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v dans une base non orthonormée : cette formule n'est valide qu'en base orthonormée.
  3. Confondre orthogonalité et parallélisme : orthogonal ⇔ produit scalaire nul ; parallèle ⇔ vecteurs colinéaires.
  4. Erreur de signe dans le calcul de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} : les coordonnées peuvent être négatives, attention aux signes.
  5. Oublier de justifier que les vecteurs directeurs sont non colinéaires dans la démonstration qu'un vecteur est normal à un plan (M4).
  6. Utiliser ∥u⃗+v⃗∥=∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| : faux en général. La bonne formule utilise le produit scalaire.
  7. Confondre u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} et ∥u⃗∥×∥v⃗∥\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| : la deuxième expression est un produit de longueurs, pas le produit scalaire.
  8. Erreur sur cos⁡(u⃗,v⃗)\cos(\vec{u}, \vec{v}) : la formule u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} nécessite la norme au dénominateur, pas le carré.
  9. Confondre orthogonalité et perpendicularité : synonymes en géométrie, mais l'orthogonalité s'utilise pour les vecteurs, la perpendicularité pour les droites.

6. Formulaire à retenir

ObjetFormule
Définitionu⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos(\vec{u}, \vec{v})
Expression analytiqueu⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v
Norme∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗=xu2+yu2+zu2\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}
Orthogonalitéu⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
Anglecos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}
Vecteur normaln⃗⊥\vec{n} \perp à 2 vecteurs directeurs non colinéaires
Développement∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2
Al-Kashia2=b2+c2−2bccos⁡(A^)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})
Symétrieu⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}
Bilinéaritéu⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}

7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Angle entre deux vecteurs / entre deux droites (M3) :

Position droite-plan par produit scalaire (M6) :

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S'entraîner avec les annales du bac : Orthogonalité et produit scalaire

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