REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Géométrie dans l'espace

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est la traduction analytique des objets géométriques (droites, plans) vus dans le chapitre Vecteurs, droites et plans. Il fournit deux outils complémentaires :

• La représentation paramétrique — expression des coordonnées d'un point courant en fonction d'un ou deux paramètres.
• L'équation cartésienne (uniquement pour les plans) — équation reliant les coordonnées $(x, y, z)$ à des constantes.

Ces deux formes permettent de calculer intersections, positions relatives, et paramétrer les problèmes de distance.

Prérequis indispensables :

• Vecteurs, droites, plans (fiche précédente)
• Manipulation de systèmes linéaires 2×2, 3×3
• Vecteur directeur d'une droite, vecteurs directeurs d'un plan
• Notion de vecteur normal (au chapitre suivant, mais introduit ici)

Chapitre débouchant sur : Orthogonalité et produit scalaire (utilisation du vecteur normal), Distances, projetés, aires et volumes (paramétrages des projetés orthogonaux).

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1. Notions clés

1.1 Représentation paramétrique d'une droite

Soit $(D)$ la droite passant par le point $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $(D)$ si et seulement s'il existe un réel $t$ (le paramètre) tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, ce qui s'écrit en coordonnées : $\begin{cases} x = x_A + {\color{#0070C0}{a}}\,t \\ y = y_A + {\color{#0070C0}{b}}\,t \\ z = z_A + {\color{#0070C0}{c}}\,t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

Vocabulaire : $t$ est le paramètre. Chaque valeur de $t$ donne un point de la droite.

Lecture inverse : dans une représentation paramétrique, le vecteur directeur de la droite est lu par les coefficients de $t$ : $\vec{u}({\color{#0070C0}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}\,;{\color{#0070C0}{c}})$. Le point $A$ correspond à $t = 0$.

1.2 Représentation paramétrique d'un plan

Soit $(P)$ le plan passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ et $\vec{v}(a'\,;b'\,;c')$ non colinéaires.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $(P)$ si et seulement s'il existe deux réels $t, s$ tels que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} + s\,\vec{v}$, ce qui s'écrit : $\begin{cases} x = x_A + at + a's \\ y = y_A + bt + b's \\ z = z_A + ct + c's \end{cases}, \quad t, s \in \mathbb{R}$

Deux paramètres (contre un seul pour une droite) — cohérent avec la dimension 2 du plan.

1.3 Équation cartésienne d'un plan

Tout plan $(P)$ de l'espace admet une équation cartésienne de la forme : ${\color{#0070C0}{a}}x + {\color{#0070C0}{b}}y + {\color{#0070C0}{c}}z + d = 0$

où $({\color{#0070C0}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}\,;{\color{#0070C0}{c}})$ ne sont pas tous nuls simultanément.

Point-clé : le vecteur $\vec{n}({\color{#0070C0}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}\,;{\color{#0070C0}{c}})$ (formé par les coefficients de $x, y, z$) est un vecteur normal au plan (orthogonal à tout vecteur du plan). Voir fiche Orthogonalité et produit scalaire.

Test d'appartenance : un point $M(x_M\,;y_M\,;z_M)$ appartient à $(P)$ si et seulement si : ${\color{#0070C0}{a}}\,x_M + {\color{#0070C0}{b}}\,y_M + {\color{#0070C0}{c}}\,z_M + d = 0$

1.4 Vecteur normal à un plan

Un vecteur normal au plan $(P)$ est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Si $(P)$ a pour équation cartésienne ${\color{#0070C0}{a}}x + {\color{#0070C0}{b}}y + {\color{#0070C0}{c}}z + d = 0$, alors $\vec{n}({\color{#0070C0}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}\,;{\color{#0070C0}{c}})$ est un vecteur normal (tous les vecteurs colinéaires à $\vec{n}$ conviennent aussi).

Réciproquement : si $\vec{n}({\color{#0070C0}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}\,;{\color{#0070C0}{c}})$ est normal au plan et $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ un point du plan, alors l'équation cartésienne est : ${\color{#0070C0}{a}}(x - x_A) + {\color{#0070C0}{b}}(y - y_A) + {\color{#0070C0}{c}}(z - z_A) = 0$

qu'on développe pour obtenir la forme ${\color{#0070C0}{a}}x + {\color{#0070C0}{b}}y + {\color{#0070C0}{c}}z + d = 0$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Représentation paramétrique d'une droite

Droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ : $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

T2 — Représentation paramétrique d'un plan

Plan passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ et $\vec{v}(a'\,;b'\,;c')$ non colinéaires : $\begin{cases} x = x_A + at + a's \\ y = y_A + bt + b's \\ z = z_A + ct + c's \end{cases}, \quad t, s \in \mathbb{R}$

T3 — Équation cartésienne d'un plan

Forme générale : ${\color{#0070C0}{a}}\,x + {\color{#0070C0}{b}}\,y + {\color{#0070C0}{c}}\,z + d = 0$

avec $(a\,;b\,;c) \ne (0\,;0\,;0)$.

Vecteur normal : $\vec{n}({\color{#0070C0}{a}}\,;{\color{#0070C0}{b}}\,;{\color{#0070C0}{c}})$.

T4 — Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal

Plan passant par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$

qu'on développe.

T5 — Positions relatives

Deux plans $(P_1), (P_2)$ de vecteurs normaux $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ :

• $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires → plans parallèles ou confondus. Vérifier avec un point.
• $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ non colinéaires → plans sécants selon une droite. Trouver l'équation en résolvant le système des deux équations.

Droite $(D)$ et plan $(P)$ :

• Vecteur directeur $\vec{u}$ de $(D)$ orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$ de $(P)$ ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$) → droite parallèle au plan ou incluse dans le plan. Vérifier avec un point.
• Sinon → droite et plan sécants en un unique point. Substituer la représentation paramétrique de $(D)$ dans l'équation de $(P)$ pour trouver le point.

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3. Méthodes types au bac

M1 — Écrire la représentation paramétrique d'une droite

Type d'énoncé : « Donner une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(1\,;-2\,;3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2\,;-1\,;4)$. »

Rédaction canonique.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $(D)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ pour un certain $t \in \mathbb{R}$. En coordonnées : $\begin{pmatrix} x - 1 \\ y + 2 \\ z - 3 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 - t \\ z = 3 + 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

Cas d'une droite définie par deux points $A$ et $B$ : prendre $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2021 à 2024 (toutes sessions).

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M2 — Écrire la représentation paramétrique d'un plan (rarement demandée seule)

Démarche. Analogue à M1 mais avec deux paramètres $t, s$ et deux vecteurs directeurs. En pratique, au bac, on préfère souvent passer directement à l'équation cartésienne.

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M3 — Écrire l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal (méthode-star du chapitre)

Type d'énoncé : « Donner l'équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A(1\,;2\,;-1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3\,;-1\,;2)$. »

Démarche.

1. Écrire $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ (équation formelle).
2. Développer en coordonnées : $3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - (-1)) = 0$.
3. Simplifier : $3x - 3 - y + 2 + 2z + 2 = 0$, soit $3x - y + 2z + 1 = 0$.

Vérification : substituer $A$ pour vérifier que l'équation est bien satisfaite : $3 \times 1 - 2 + 2 \times (-1) + 1 = 3 - 2 - 2 + 1 = 0$ ✓.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2022, sept. 2023, juin 2024 ; Polynésie 2023 ; Amérique du Nord 2024.

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M4 — Trouver un vecteur normal à un plan défini par 3 points ou par 2 vecteurs

Type d'énoncé : « Trouver un vecteur normal au plan $(P)$ passant par $A, B, C$. »

Démarche (recommandée au bac).

1. Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (directeurs de $(P)$).
2. Chercher $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ tel que : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \quad \text{et} \quad \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$
3. Résoudre le système (2 équations, 3 inconnues) en fixant une inconnue (par exemple $c = 1$).

Alternative (hors programme) : produit vectoriel $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ — non exigé au bac spécialité mais utile.

Exemple. $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$, $C(0\,;0\,;3)$.

$\overrightarrow{AB} = (-1\,;2\,;0)$, $\overrightarrow{AC} = (-1\,;0\,;3)$.

Système : $-a + 2b = 0$ et $-a + 3c = 0$. En prenant $c = 1$ : $a = 3$, $b = \dfrac{3}{2}$. Multiplication par 2 pour entiers : $\vec{n}(6\,;3\,;2)$.

Vérification : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -6 + 6 + 0 = 0$ ✓, $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 + 0 + 6 = 0$ ✓.

Où c'est tombé : structure canonique. Métropole juin 2022, sept. 2023, juin 2024.

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M5 — Écrire l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points $A, B, C$

Démarche complète.

1. Trouver un vecteur normal $\vec{n}$ par M4.
2. Appliquer M3 pour écrire l'équation cartésienne à partir de $A$ et $\vec{n}$.

Exemple (suite). Plan par $A(1\,;0\,;0), B(0\,;2\,;0), C(0\,;0\,;3)$ avec $\vec{n}(6\,;3\,;2)$.

$6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z = 6$.

Où c'est tombé : systématique. Métropole 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2023.

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M6 — Intersection d'une droite et d'un plan

Type d'énoncé : « Déterminer le point d'intersection de la droite $(D)$ (donnée par sa représentation paramétrique) et du plan $(P)$ (donné par son équation cartésienne). »

Démarche.

1. Substituer les expressions de $x, y, z$ (fonctions de $t$) issues de $(D)$ dans l'équation de $(P)$.
2. On obtient une équation en $t$. Résoudre.
3. Substituer la valeur de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique de $(D)$ pour obtenir les coordonnées du point.

Exemple. $(D) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3t \end{cases}$ et $(P) : x + y + z - 6 = 0$.

Substitution : $(1 + t) + (2 - t) + 3t - 6 = 0 \Leftrightarrow 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Point d'intersection : $M(2\,;1\,;3)$.

Où c'est tombé : structure canonique. Métropole 2021, 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2023, 2024.

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M7 — Position relative droite-plan et vérification

Démarche systématique.

1. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{n}$ (avec $\vec{u}$ directeur de $(D)$ et $\vec{n}$ normal à $(P)$).
2. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} \ne 0$ : la droite et le plan sont sécants. Trouver le point d'intersection (M6).
3. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ : la droite est parallèle au plan ou incluse dans le plan. Vérifier avec un point de $(D)$ :
   • S'il appartient à $(P)$ : la droite est incluse.
   • Sinon : la droite est strictement parallèle.

Où c'est tombé : régulier. Métropole 2022, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M8 — Position relative de deux plans

Démarche.

1. Identifier les vecteurs normaux $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ des deux plans.
2. Si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires : plans parallèles ou confondus. Vérifier avec un point.
3. Sinon : plans sécants selon une droite. Trouver son intersection en résolvant le système des deux équations cartésiennes.

Où c'est tombé : régulier. Métropole 2022, Polynésie 2023.

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4. Analyse fréquentielle

• Ces représentations apparaissent dans 100 % des exercices de géométrie au bac spécialité maths.
• Format le plus fréquent — structure canonique :
  1. Représentation paramétrique d'une droite (M1) — question 1.
  2. Équation cartésienne d'un plan (M3, M4, M5) — question intermédiaire.
  3. Intersection droite-plan (M6) — question centrale.
  4. Position relative ou distance (M7) — questions finales, souvent avec produit scalaire (voir fiches suivantes).
• Représentation paramétrique de droite (M1) : systématique.
• Équation cartésienne à partir d'un point + vecteur normal (M3) : systématique.
• Vecteur normal à un plan (M4) : systématique — structure canonique quand le plan est défini par 3 points ou 2 vecteurs.
• Intersection droite-plan (M6) : ultra-fréquent — au moins un exo par session.
• QCM : identification d'un vecteur directeur / vecteur normal, appartenance d'un point à une droite ou un plan.

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5. Erreurs fréquentes

1. Oublier « $t \in \mathbb{R}$ » dans la représentation paramétrique : mention nécessaire pour définir l'ensemble des paramètres.
2. Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan) : le vecteur directeur est dans la direction ; le vecteur normal est perpendiculaire.
3. Lire le vecteur normal d'un plan à l'envers : dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur normal est $\vec{n}(a\,;b\,;c)$, pas $(x_A\,;y_A\,;z_A)$.
4. Confondre représentation paramétrique (système avec $t$) et équation cartésienne (une équation en $x, y, z$) : deux notions distinctes.
5. Erreur de signe dans le développement de $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$ vers $ax + by + cz + d = 0$.
6. Oublier de vérifier avec un point dans le calcul de position relative (parallèle vs incluse).
7. Utiliser le vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ comme vecteur directeur du plan : non — $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs.
8. Chercher une équation cartésienne pour une droite dans l'espace : dans l'espace, une droite a une représentation paramétrique ou un système de deux équations cartésiennes (deux plans dont l'intersection est la droite) — pas une seule équation.
9. Confondre les paramètres $t$ et $s$ dans la représentation paramétrique d'un plan.
10. Prendre le mauvais vecteur normal en cas de plan défini par 3 points : bien vérifier que $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Repr. param. droite	$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$
Repr. param. plan	3 équations avec 2 paramètres $t, s$
Éq. cart. plan	$ax + by + cz + d = 0$
Vecteur normal	$\vec{n}(a\,;b\,;c)$ à partir de l'éq. cart.
Éq. cart. plan (par point + normal)	$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$
Appartenance à un plan	$M(x_M\,;y_M\,;z_M) \in (P)$ ⇔ $ax_M + by_M + cz_M + d = 0$
Intersection droite/plan	Substituer paramétrique dans cartésienne, résoudre en $t$
Parallélisme droite/plan	$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$
Parallélisme deux plans	$\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Équation cartésienne d'un plan à partir d'un point + normal (M3) :

• Métropole — 2021 J1 ex. 3 · 2021 J1 ex. 4 · 2021 J2 ex. 1 · 2021 J2 ex. 3 · 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 1 · 2024 J2 ex. 2
• Polynésie — 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 4 · 2023 J1 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 3 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2

Équation cartésienne d'un plan par 3 points (M5) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 2
• Amérique du Nord — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2

Position relative droite/plan (M7) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 2
• Amérique du Nord — 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 2

Position relative de deux plans (M8) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4
• Polynésie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J1 ex. 4 · 2023 J2 ex. 2
• Centres Étrangers — 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3