Exercice 5 — Logarithme népérien, Continuité et TVI

(Tableau : voir le sujet PDF.)

Partie I: Étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par :

$g(x) = \ln(x) + 2x - 2.$

• 1. Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $0$.
• 2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0 ;  +\infty[$.
• 3. Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0 ;  +\infty[$.
• 4. Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $]0 ;  +\infty[$.

**Partie II : Étude d'une fonction ** $f$On considère la fonction $f$, définie sur $]0 ;  +\infty[$ par:

$f(x) = \left(2 - \dfrac{1}{x}\right)\left(\ln (x) - 1\right).$

• 1.

  • a) On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0 ;  +\infty[$ et on note $f'$ sa dérivée.

    Démontrer que, pour tout $x$ de $]0 ;  +\infty[$, on a :

    $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.$

  • b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0 ;  +\infty[$. Le calcul des limites n'est pas demandé.

• 2. Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]0 ;  +\infty[$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.

Partie III : Étude d'une fonction $F$admettant pour dérivée la fonction $f$

On admet qu'il existe une fonction $F$ dérivable sur $]0 ;  +\infty[$ dont la dérivée $F'$ est la fonction $f$.

Ainsi, on a : $F' = f$.

On note $\mathcal{C}_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$. On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$.

• 1. Étudier les variations de $F$ sur $]0 ;  +\infty[$.

• 2. La courbe $\mathcal{C}_F$ représentative de $F$ admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ?

  Justifier la réponse.