DISTANCES, PROJETÉS, AIRES ET VOLUMES

Terminale · Spécialité Mathématiques · Thème : Géométrie dans l'espace

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Place dans le programme et prérequis

Ce chapitre est le chapitre-synthèse de la géométrie dans l'espace : il applique tous les outils précédents (vecteurs, représentations paramétriques, produit scalaire) au calcul de distances, projetés orthogonaux, aires et volumes. C'est l'exercice-type le plus valorisé en géométrie au bac : la dernière question d'un exercice de géométrie porte presque toujours sur une distance ou un volume.

Prérequis indispensables :

• Vecteurs, droites, plans (fiche Vecteurs, droites et plans)
• Représentations paramétriques et équations cartésiennes
• Produit scalaire, vecteur normal, orthogonalité

Chapitre débouchant sur : rien de nouveau — c'est le chapitre de synthèse qui articule tous les précédents.

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1. Notions clés

1.1 Distance entre deux points

La distance entre $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ est :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

1.2 Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite (ou un plan) est le point $H$ tel que $\overrightarrow{MH}$ soit orthogonal à la droite (ou au plan).

Le projeté est le point de la droite (ou du plan) le plus proche de $M$ — la distance $MH$ minimise la distance de $M$ à un point quelconque de la droite (ou du plan).

1.3 Distance d'un point à une droite ou à un plan

Distance d'un point $M$ à une droite $(D)$ = distance $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$.

Distance d'un point $M$ à un plan $(P)$ = distance $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(P)$.

Ces distances sont les plus petites distances possibles entre $M$ et un point de $(D)$ ou $(P)$.

1.4 Aire d'un triangle

L'aire d'un triangle $ABC$ dans l'espace peut être calculée par plusieurs méthodes :

• Formule avec la hauteur : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$.
• Formule avec le sinus : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{A})$.
• Via le produit scalaire :
  $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{AB}\|^2 \times \|\overrightarrow{AC}\|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$.

1.5 Volumes

Volume d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) $ABCD$ : $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

où $\mathcal{A}_{\text{base}}$ est l'aire d'une face (base) et $h$ est la hauteur (distance du 4e sommet au plan de la base).

Volume d'un prisme droit ou d'un cylindre : $\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.

Volume d'une pyramide (base quelconque) : $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.

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2. Formulaire — théorèmes et propriétés

T1 — Distance entre deux points

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

📌 Règle canonique de rédaction : utiliser directement la formule de racine carrée avec substitution — pas d'étape intermédiaire de « distance au carré ».

T2 — Distance d'un point $M$ à un plan $(P)$ (formule directe)

Si $(P)$ a pour équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ et $M(x_M\,;y_M\,;z_M)$ : $d(M, (P)) = \dfrac{|a\,x_M + b\,y_M + c\,z_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Numérateur : valeur absolue de la substitution des coordonnées de $M$ dans l'équation du plan.

Dénominateur : norme du vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$.

⚠ Cette formule directe est au programme. Elle évite de calculer explicitement le projeté orthogonal.

T3 — Distance d'un point $M$ à une droite $(D)$

Pas de formule directe au programme. On procède par calcul du projeté orthogonal $H$ (voir M4) puis : $d(M, (D)) = MH$

T4 — Projeté orthogonal sur une droite

Le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(D)$ passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est le point $H$ tel que : $\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$

T5 — Projeté orthogonal sur un plan

Le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$ est l'intersection de :

• La droite $\Delta$ passant par $M$ et de vecteur directeur $\vec{n}$ (orthogonale à $(P)$).
• Le plan $(P)$.

T6 — Aire d'un triangle (via produit scalaire)

$\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{AB}\|^2 \times \|\overrightarrow{AC}\|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$

T7 — Volume d'un tétraèdre

$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

où $h$ est la hauteur du tétraèdre relative à la base choisie : c'est la distance du 4e sommet au plan contenant la base.

T8 — Volumes usuels

Solide	Volume
Cube d'arête $a$	$a^3$
Pavé $a \times b \times c$	$abc$
Prisme droit / cylindre	$\mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
Pyramide / tétraèdre	$\frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
Cône	$\frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$
Sphère de rayon $r$	$\frac{4}{3} \pi r^3$

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3. Méthodes types au bac

M1 — Calculer une distance entre deux points

Rédaction canonique — utiliser directement la racine carrée avec substitution.

Exemple. $A(1\,;2\,;-1)$, $B(4\,;-2\,;3)$.

$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$

📌 Règle canonique : ne pas écrire d'étape intermédiaire « $AB^2 = \ldots$ » — utiliser directement la formule avec racine.

Où c'est tombé : systématique.

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M2 — Calculer la distance d'un point à un plan (formule directe)

Type d'énoncé : « Calculer la distance du point $M(1\,;2\,;3)$ au plan $(P) : 2x - y + 2z - 5 = 0$. »

Démarche.

1. Identifier $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ et $d$ dans l'équation cartésienne.
2. Substituer les coordonnées de $M$ au numérateur (valeur absolue).
3. Calculer la norme de $\vec{n}$ au dénominateur.

Exemple. $M(1\,;2\,;3)$, $(P) : 2x - y + 2z - 5 = 0$.

$d(M, (P)) = \dfrac{|2 \times 1 - 1 \times 2 + 2 \times 3 - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \dfrac{|2 - 2 + 6 - 5|}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$

Où c'est tombé : systématique dans les exos de géométrie. Métropole 2022, sept. 2023, juin 2024 ; Polynésie 2023, 2024 ; Amérique du Nord 2024.

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M3 — Calculer la distance d'un point à une droite (via projeté)

Type d'énoncé : « Calculer la distance du point $M(2\,;1\,;3)$ à la droite $(D)$ passant par $A(0\,;0\,;0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1\,;-1\,;1)$. »

Démarche.

1. Trouver le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(D)$ (voir M4).
2. Calculer $MH$ (formule de distance entre deux points).

Exemple. Étape 1 (M4) : chercher $H \in (D)$ tel que $\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u}$ et $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$.

$\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u}(t\,;-t\,;t)$, donc $H(t\,;-t\,;t)$. $\overrightarrow{MH}(t - 2\,;-t - 1\,;t - 3)$.

$\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = (t-2) - (-t-1) + (t-3) = 3t - 4 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{4}{3}$.

Donc $H = \left(\dfrac{4}{3}\,;-\dfrac{4}{3}\,;\dfrac{4}{3}\right)$.

Étape 2 : $MH = \sqrt{\left(\dfrac{4}{3} - 2\right)^2 + \left(-\dfrac{4}{3} - 1\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} = \sqrt{\dfrac{4}{9} + \dfrac{49}{9} + \dfrac{25}{9}} = \dfrac{\sqrt{78}}{3}$.

Où c'est tombé : Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024.

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M4 — Trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Démarche.

1. Écrire $\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u}$, donc les coordonnées de $H$ en fonction de $t$.
2. Écrire $\overrightarrow{MH}$ en fonction de $t$.
3. Poser l'équation $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$.
4. Résoudre en $t$.
5. Substituer $t$ dans les coordonnées de $H$.

Voir exemple M3.

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M5 — Trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan

Démarche.

1. Identifier $\vec{n}$ vecteur normal à $(P)$.
2. Écrire la représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
3. Substituer dans l'équation cartésienne de $(P)$ pour trouver le paramètre $t$.
4. Substituer $t$ dans les coordonnées paramétriques → coordonnées du projeté $H$.

Exemple. $M(1\,;2\,;3)$, $(P) : 2x - y + 2z - 5 = 0$. Vecteur normal $\vec{n}(2\,;-1\,;2)$.

Droite $\Delta$ : $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$.

Substitution : $2(1 + 2t) - (2 - t) + 2(3 + 2t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 9t + 1 = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{1}{9}$.

Projeté : $H\left(\dfrac{7}{9}\,;\dfrac{19}{9}\,;\dfrac{25}{9}\right)$.

Vérification : $MH = \sqrt{\left(\dfrac{2}{9}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{9}\right)^2} = \dfrac{1}{3}$ ✓ (identique à M2).

Où c'est tombé : Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024.

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M6 — Calculer l'aire d'un triangle

Formule recommandée au bac (peu de calcul, robuste) : $\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times AB \times h$

où $h$ est la distance de $C$ à la droite $(AB)$ (méthode M3).

Alternative — formule via produit scalaire : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\|\overrightarrow{AB}\|^2 \|\overrightarrow{AC}\|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$

Où c'est tombé : régulier. Métropole 2022, sept. 2023, Polynésie 2024.

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M7 — Calculer un volume (tétraèdre, prisme, cylindre)

Type d'énoncé : « Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. »

Démarche pour un tétraèdre.

1. Choisir une base (par exemple $ABC$).
2. Calculer l'aire de la base $\mathcal{A}_{ABC}$ (M6).
3. Calculer la hauteur $h$ = distance du 4e sommet $D$ au plan $(ABC)$ (M2).
4. Appliquer $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{ABC} \times h$.

Exemple abrégé. $A(0\,;0\,;0), B(1\,;0\,;0), C(0\,;1\,;0), D(0\,;0\,;1)$.

Base $ABC$ : dans le plan $z = 0$, triangle rectangle en $A$ de côtés $1$ et $1$. Aire : $\dfrac{1}{2}$.

Hauteur : distance de $D(0\,;0\,;1)$ au plan $z = 0$ est $1$.

Volume : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{6}$.

Où c'est tombé : structure canonique. Métropole 2022, sept. 2023, juin 2024, Polynésie 2023, Amérique du Nord 2024.

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M8 — Optimiser une distance ou une aire

Type d'énoncé : « Trouver la position du point $M$ sur la droite $(D)$ qui minimise la distance $MA$. »

Démarche.

• Le point cherché est le projeté orthogonal de $A$ sur $(D)$ (voir M4).
• La distance minimale est $AH$ (distance de $A$ à $(D)$).

Où c'est tombé : Métropole sept. 2023, Polynésie 2024, Amérique du Nord 2024.

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4. Analyse fréquentielle

• Les distances, projetés, aires et volumes apparaissent dans 80 % des exercices de géométrie au bac spécialité maths — souvent en question finale.
• Format le plus fréquent — structure canonique en fin d'exercice :
  1. Trouver un vecteur normal à un plan.
  2. Trouver l'équation cartésienne d'un plan.
  3. Calculer la distance d'un point à ce plan (M2) — question la plus rentable.
  4. Éventuellement : calculer le volume d'un tétraèdre (M7) — 5 à 8 points.
• Distance point-plan (M2) : systématique, présente dans presque tous les exos de géométrie.
• Projeté orthogonal (M4 et M5) : structure canonique, plus fréquente que la distance point-droite.
• Volume d'un tétraèdre (M7) : dans environ 40 % des exercices de géométrie — souvent en dernière question, 3 à 5 points.
• Aire d'un triangle (M6) : régulière, souvent comme étape intermédiaire pour un volume.
• Optimisation de distance (M8) : régulière — Métropole sept. 2023, Amérique du Nord 2024.

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5. Erreurs fréquentes

1. Passer par $AB^2$ au lieu de la racine directe : la règle canonique impose la formule avec racine directement.
2. Oublier la valeur absolue au numérateur de la formule de distance point-plan.
3. Oublier la racine carrée au dénominateur dans la même formule.
4. Confondre distance point-plan (formule directe) et distance point-droite (via projeté) : deux méthodes différentes.
5. Prendre le mauvais vecteur normal dans la formule de distance point-plan.
6. Ne pas vérifier l'orthogonalité dans la définition du projeté orthogonal.
7. Oublier le facteur $\dfrac{1}{3}$ dans le volume d'un tétraèdre ou d'une pyramide.
8. Confondre hauteur d'un tétraèdre et longueur d'une arête : la hauteur est la distance du sommet opposé au plan de la base.
9. Utiliser une formule d'aire (Formule 2) sans vérifier que le triangle est bien plan : au niveau bac, tous les triangles sont plans.
10. Erreur dans le paramétrage de la droite $\Delta$ pour le projeté sur un plan : bien poser $\Delta$ passant par $M$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.

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6. Formulaire à retenir

Objet	Formule
Distance $AB$	$\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
Distance point-plan	$d(M, (P)) = \dfrac{
Distance point-droite	Via projeté orthogonal (M4), puis $MH$
Projeté sur droite	$\overrightarrow{AH} = t\vec{u}$ et $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$
Projeté sur plan	Droite $\Delta$ par $M$, dir. $\vec{n}$, intersection $\Delta \cap (P)$
Aire triangle (base $\times$ hauteur)	$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,AB \times h$
Aire triangle (sinus)	$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,AB \times AC \times \sin(\widehat{A})$
Volume tétraèdre	$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
Volume prisme / cylindre	$\mathcal{V} = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

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7. Annales à consulter sur vecteurmaths.fr

Distance point-plan (formule directe) (M2) — systématique :

• Métropole — 2021 J1 ex. 3 · 2021 J1 ex. 4 · 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 1
• Polynésie — 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2023 J1 ex. 3 · 2023 J2 ex. 3 · 2024 J2 ex. 2
• Asie — 2023 J1 ex. 2 · 2023 J2 ex. 1 · 2024 J1 ex. 2 · 2024 J2 ex. 4
• Centres Étrangers — 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 3

Projeté orthogonal d'un point sur une droite (M4) et sur un plan (M5) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 1
• Polynésie — 2023 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2024 J2 ex. 2

Distance point-droite via projeté (M3) :

• Polynésie — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2024 J2 ex. 2

Volume d'un tétraèdre (M7) — question finale d'exo :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J1 ex. 3 · 2024 J2 ex. 1
• Polynésie — 2023 J2 ex. 2 · 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2024 J2 ex. 2
• Amérique du Sud — 2024 J1 ex. 4 · 2024 J2 ex. 4
• Nouvelle-Calédonie — 2023 J2 ex. 1

Aire d'un triangle (M6) :

• Métropole — 2022 J1 ex. 2 · 2022 J1 ex. 4 · 2022 J2 ex. 3 · 2022 J2 ex. 4
• Polynésie — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4

Optimisation de distance (M8) :

• Polynésie — 2024 J1 ex. 1 · 2024 J2 ex. 4
• Amérique du Nord — 2024 J2 ex. 2