Exercice 2 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Suites et récurrence

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5 ;  +\infty[$ par

$f(x) = \ln (2x + 3) - 1.$

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :

$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5 ;  +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.

• 1. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.

  On admet que la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est $-\infty$.

• 2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5 ;  +\infty[$.

• 3.

  • a) Démontrer que, dans l'intervalle $]-0,5 ;  +\infty[$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.

  • b) Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Partie B : Étude de la suite $\left(u_n\right)$On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5 ;  +\infty[$.

• 1. Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x \in [-1 ; \alpha]$ alors $f(x) \in [-1 ; \alpha]$.

• 2.

  • a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

    $-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.$

  • b) En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.