Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural.

Il s'agit d'une maison de forme cubique (ABCDEFGH) accolée à un garage de forme cubique (BIJKLMNO) où L est le milieu du segment [BF] et K est le milieu du segment [BC].

Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale (LMNOP) de base carrée LMNO et de sommet P positionné sur la façade de la maison.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath}, \overrightarrow{k}\right)$, avec $\overrightarrow{\imath} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\jmath} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AD}}$ et $\overrightarrow{k} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}$.

• 1.

  • a) Par lecture graphique, donner les coordonnées des points H, M et N.

  • b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HM).

• 2. L'architecte place le point P à l'intersection de la droite (HM) et du plan (BCF).

  Montrer que les coordonnées de P sont $\left(2 ; \dfrac23 ; \dfrac43\right)$.

• 3.

  • a) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{PM}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}}$.

  • b) Calculer la distance PM.

    On admet que la distance PN est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$.

  • c) Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{\text{MPN}}$ ne dépasse pas $55°$.

    Le toit pourra-t-il être construit ?

• 4. Justifier que les droites (HM) et (EN) sont sécantes.

  Quel est leur point d'intersection ?