Exercice 3 — Vecteurs, droites et plans, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère les points:

A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.

• 1.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3

    2

    6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC).

  • b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.

• 2. On note $d$ la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.

  • b) Montrer que la droite $d$ coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées $\left(\frac{18}{49} ; \frac{12}{49} ; \frac{36}{49}\right)$.

  • c) Calculer la distance OH.

• 3. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

  En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l'aire du triangle ABC.

EXERCICE au choix du candidat 5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.