Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère :

• le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2x + y - z +2 = 0$,
• le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point B(1 ; 1 ; 2) et dont un vecteur normal est $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1

-1

1\end{pmatrix}$.

• 1.

  • a) Donner les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.

  • b) On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.

    Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.

• 2.

  • a) Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.

  • b) On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{lcl} x&=&0 \\ y &=& -2 + t \\ z&=&\phantom{2+t}t \end{array}\right.,\quad t \in \mathbb{R}$.

    Montrer que la droite $\Delta$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

  On considère le point A(1 ; 1 ; 1) et on admet que le point A n'appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.

  On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite $\Delta$.

• 3. On rappelle que, d'après la question 2. b, la droite $\Delta$ est l'ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0 ; -2 + t ; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.

  • a) Montrer que, pour tout réel $t$,: A$M_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$.

  • b) En déduire que AH $= \sqrt 3$.

• 4. On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point A et H$_1$ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}_1$.

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.

  • b) En déduire que le point H$_1$ a pour coordonnées $\left(- \dfrac13 ; \dfrac13 ; \dfrac53\right)$.

• 1. Soit H$_2$ le projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}_2$.

  On admet que H$_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac43 ; \dfrac23 ; \dfrac43\right)$ et que H a pour coordonnées (0 ; 0 ; 2).

  Sur le schéma ci-contre, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points A, H$_1$, H$_2$, H.

  Montrer que AH$_1$HH$_2$ est un rectangle.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)