Exercice 2 — Suites et récurrence, Dérivation et convexité

*Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.*

• 1. On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,: $a_{n+1} = 0,5a_n + 1$ et $b_n = a_n - 2$.

  On peut affirmer que:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

  Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :

  u_{n+1}&=&u_n + 3v_n \\

v_{n+1}&=&u_n + v_n. \end{array}\right.$$

• 2. On peut affirmer que :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 3. On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :

  def valeurs() :
       u = 2
       v = 1
       for k in range(1,11)
            c = u
            u = u + 3*v
            v = c + v
       return (u, v)
  

  Ce programme renvoie :

  • A. **a. ** $u_{11}$ et $v_{11}$ ;
  • B. **b. ** $u_{10}$ et $v_{11}$ ;
  • C. **c. ** les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de 1 à 10 ;
  • D. **d. ** $u_{10}$ et $v_{10}$.

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l'intervalle $[-4 ; 2]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la dérivée seconde de $f$.

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}'$ de la fonction dérivée $f'$ dans un repère du plan. On donne de plus les points A$(-2 ; 0)$, B(1 ; 0) et C(0 ; 5).

• 1. La fonction $f$ est :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

• 2. On admet que la droite (BC) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}'$ au point B. On a :

  (Tableau : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(x^2 + 1\right)\text{e}^x$.

  La primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 1$ est définie par:

  (Tableau : voir le sujet PDF.)