Exercice 3 — Suites définies par une fonction (uₙ₊₁ = f(uₙ)), Logarithme népérien

Les parties B et C sont indépendantes

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par

$f(x) = x - x \ln x,$

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

• 1. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.

• 2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

• 3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

  • a) Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f'(x) = - \ln x$.

  • b) En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.

• 4. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $]0 ; +\infty[$.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par:

u_0 &=& 0,5 \\ u_{n+1} &=& u_n - u_n \ln u_n \:\text{ pour tout entier naturel } n, \end{array}\right.$$ Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. - **1.** On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0,5 ; 1]. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. - **2.** - **a)** Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. - **b)** On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$. **Partie C** Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par: $$f_k(x) = kx - x \ln x.$$ - **1.** Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = \text{e}^{k- 1}$. - **2.** Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k = y_k$.