Exercice 4 — Représentations paramétriques et équations cartésiennes, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère:

• la droite $\mathcal{D}$ passant par le point A(2 ; 4 ; 0) et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1

2

0\end{pmatrix}$ ;

• la droite $\mathcal{D}'$ dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{lcl} x&=&3 \\ y&=& 3 + t \\ z&=&3 + t \end{array}\right. ,\: t \in \mathbb{R}$.

• 1.

  • a) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u'}$ de la droite $\mathcal{D}'$.

  • b) Montrer que les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas parallèles.

  • c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$. On appellera M le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}$, et M$'$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.

On se propose de déterminer la distance MM$'$ appelée « distance entre les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ».

• 1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2

  • 1

  1\end{pmatrix}$est un vecteur directeur de la droite$\Delta$.

• 2. On note $\mathcal{P}$ le plan contenant les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, c'est-à-dire le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

  • a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2

    -1

    -5 \end{pmatrix}$est un vecteur normal au plan$\mathcal{P}$.

  • b) En déduire qu'une équation du plan $\mathcal{P}$ est : $2x - y - 5z = 0$.

  • c) On rappelle que M$'$ est le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\mathcal{D}'$.

    Justifier que M$'$ est également le point d'intersection de $\mathcal{D}'$ et du plan $\mathcal{P}$.

    En déduire que les coordonnées du point M$'$ sont (3 ; 1 ; 1).

• 3.

  • a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

  • b) Justifier que le point M a pour coordonnées (1 ; 2 ; 0).

  • c) Calculer la distance MM$'$.

• 4. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 5t \\ y &=& 2 + 5t \\ z&=&1 + t \end{array}\right.$ avec $t \in \mathbb{R}$.

  • a) Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

  • b) On note $\ell$ la distance d'un point N de la droite $d$ au plan $\mathcal{P}$ .

    Exprimer le volume du tétraèdre ANMM$'$ en fonction de $\ell$.

    On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $V = \dfrac13 \times B \times h$ où $B$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

  • c) Justifier que, si N$_1$ et N$_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres AN$_1$MM$'$ et AN$_2$MM$'$ ont le même volume.