Exercice 2 — Orthogonalité et produit scalaire, Vecteurs, droites et plans

On considère le cube ABCDEFGH.

On place le point M tel que $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB}$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

Partie A

• 1. Montrer que les droites (FG) et (FM) sont perpendiculaires.
• 2. Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.

Partie B

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A} ; \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

• 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{GM}}$ et $\overrightarrow{\text{AH}}$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.

• 2.

  • a) Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite (GM) est :

    x&=&1 + t \\

y&=&1 - t \ z&=&1 - t \end{array}\right. :\text{ avec}: t \in \mathbb{R}.$$

• b) On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (AH) est :

  x&=&0 \\

y&=&k \ z&=&k \end{array}\right. :\text{ avec}: k \in \mathbb{R}.$$

Montrer que le point d'intersection de (GM) et (AH), que l'on nommera N, a pour
coordonnées (0 ; 2 ; 2).

• 3.

  • a) Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.

  • b) Calculer l'aire de ce triangle.

• 4. Soit J le centre de la face BCGF.

  • a) Déterminer les coordonnées du point J.

  • b) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{FJ}}$ est un vecteur normal au plan (AMN).

  • c) Montrer que J appartient au plan (AMN). En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point F sur le plan (AMN).

• 5. On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule :

  $\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h,$

  $\mathcal{B}$ étant l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

  Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.