Exercice 1 — Orthogonalité et produit scalaire, Vecteurs, droites et plans

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1 et le point I défini par $\overrightarrow{\text{FI}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{FB}}$.

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{A} ;  \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}},  \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

(Figure : voir le sujet PDF.)

(Figure : voir le sujet PDF.)

• 1. On considère le triangle HAC.

  Affirmation 1 : Le triangle HAC est un triangle rectangle.

• 2. On considère les droites (HF) et (DI).

  Affirmation 2 : Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.

• 3. On considère un réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0 ; \pi[$.

  On considère le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \sin(\alpha)

  \sin(\pi - \alpha)

  \sin(-\alpha) \end{pmatrix}$.

  Affirmation 3 : Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal au plan (FAC).

• 4. Le cube ABCDEFGH possède 8 sommets. On s'intéresse au nombre $N$ de segments que l'on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube.

  Affirmation 4 : $N = \dfrac{8^2}{2}$.