Exercice 3 — Orthogonalité et produit scalaire, Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$. On considère les points $\text{A}(3\,;\,0\,;\,1),\qquad \text{B}(2\,;\,1\,;\,2)\quad \text{et}\quad \text{C}(-2\,;\,-5\,;\,1).$

• 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
• 2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
• 3. Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne : $-x + y - 2z + 5 = 0.$
• 4. On considère le point S$(1\,;\,-2\,;\,4)$. Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$, passant par S et orthogonale au plan (ABC).
• 5. On appelle H le point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan (ABC). Montrer que les coordonnées de H sont $(0\,;\,-1\,;\,2)$.
• 6. Calculer la valeur exacte de la distance SH.
• 7. On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le point B. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$. Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.
• 8. En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque $\mathcal{D}$.