Exercice 2 — Vecteurs, droites et plans, Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$, on considère:

$\bullet$ le point A de coordonnées $(-1 ; 1 ; 3)$,

$\bullet$la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est: $\left\{\begin{array}{lcl} x&=&1+2t \\ y &=& 2 - t, \\ z&=& 2+2t \end{array}\right. t \in \mathbb{R}$.

On admet que le point A n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.

• 1.

  • a) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $\mathcal{D}$.

  • b) Montrer que le point B$(-1 ; 3 ; 0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.

  • c) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}$.

• 2. On note $\mathcal{P}$ le plan passant par le point A et orthogonal à la droite $\mathcal{D}$, et on appelle H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite $\mathcal{D}$.

  • a) Montrer que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne: $2x - y + 2z - 3 = 0$.

  • b) En déduire que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac79 ; \dfrac{19}{9} ; \dfrac{16}{9}\right)$.

  • c) Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.

• 3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite $\mathcal{D}$, par une autre méthode.

  On rappelle que le point B$(-1 ; 3 ; 0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.

  • a) Justifier qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{\text{HB}} = k\overrightarrow{u}$.

  • b) Montrer que $k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2}$.

  • c) Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point H.

• 4. On considère un point C appartenant au plan $\mathcal{P}$ tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à $\dfrac89$.

  Calculer l'aire du triangle ACH.

  On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.